Enoncé

Enoncé de l'effet de dilatation du temps - décalage d'Einstein

Dans le cadre de la Relativité générale, la courbure de l'Espace-temps implique une dilatation des durées.
Cette courbure est l'effet de la présence d'un corps massif sur l'espace-temps.
On cherche à mettre en évidence la dilatation du temps créée par la présence d'un corps dans l'espace-temps.
Considérons un événement d'une durée \(\Delta t\) mesurée dans le référentiel du laboratoire, ainsi que deux observateurs immobiles par rapport à ce référentiel.

• L'observateur \(\mathcal O_1\), situé à une distance \(r_1\) du corps, qui mesure une durée \(\Delta \tau_1\)
• L'observateur \(\mathcal O_2\), situé à une distance \(r_2\) du corps, qui mesure une durée \(\Delta \tau_2\)

Dans le référentiel de chaque observateur, nous avons la relation suivante :
$$ds^2=-c^2d\tau^2$$
Or, \(ds^2\) est invariant par changement de référentiel, alors on peut regarder cet élément du point de vue du laboratoire. Avec la Métrique de Schwarzschild:
$$ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2+\frac{1}{\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)}dr^2+r^2 \left(d\theta^2+\sin(\theta)^2d\phi^2\right)$$
Nous avons dit que les deux observateurs étaient immobiles dans l'espace, alors \(dr=d\phi=d\theta=0\)
$$ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2$$
Grâce à l'invariance de \(ds^2\), on peut écrire :
$$d\tau^2=\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)dt^2$$
$$\implies \Delta \tau=\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}\Delta t$$
Alors pour les deux observateurs on trouve :
$$\begincases\Delta \tau1=\sqrt1-\frac2GMc^2r1\Delta t\\
\Delta \tau2=\sqrt1-\frac2GMc^2r2\Delta t\endcases$$
Ce qui équivaut à dire :
$$\frac{\Delta \tau_1}{\Delta \tau_2}=\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r_1}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r_2}}}\leq 1$$
Il apparaît alors de manière naturelle une dilatation du temps ! Pour \(r\to \infty\), les deux durées sont égales \(\Delta \tau=\Delta t\).